Question

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有定義，在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0，又知函數(shù)g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，集合M={m|恒有g(shù)（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性相同得到f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，f（-1）=0，將集合N中的0用f（-1）代替，利用f（x）的單調(diào)性將f脫去，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將正弦用余弦表示，通過換元轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，通過轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，通過對對稱軸的討論求出最值．

解答：解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
又由f（1）=0得f（-1）=-f（1）=0
∴滿足

g(θ)＜0 f(g(θ))＜0=f(-1)

的條件是

g(θ)＜0 g(θ)＜-1

即g(θ)＜-1(θ∈[0，

π

2

])，即sin²θ+mcosθ-2m＜-1，
也即-cos²θ+mcosθ-2m+2＜0．
令t=cosθ，則t∈[0，1]，又設(shè)δ（t）=-t²+mt-2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必須使δ（t）在[0，1]內(nèi)的最大值小于零
1°當(dāng)

m

2

＜0即m＜0時，δ（t）_max=δ（0）=-2m+2，解不等式組

m＜0 -2m+2＜0

知m∈∅
2°當(dāng)0≤

m

2

≤1即0≤m≤2時，δ（t）_max=

m2-8m+8

4

，
由

m2-8m+8

4

＜0，解得4-2

2

≤m≤4+2

2

，故有2≥m≥4-2

2?

當(dāng)

m

2

＞1即m＞2時，δ（t）_max=-m+1，解不等式組

m＞2 -m+1＜0

得m＞2
綜上：M∩N={m|m＞4-2

2

 }

點評：本題考查奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同、考查利用函數(shù)的單調(diào)性脫去對應(yīng)法則將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式、考查換元法注意換元后新變量的范圍、考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值、考查二次函數(shù)的最值取決于對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．