Question

【題目】已知拋物線 : 過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)

(1)若點(diǎn) 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)；

(2)若求當(dāng)最大時(shí)，直線的方程．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2).

【解析】試題分析：（1）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)P和M關(guān)于x軸對(duì)稱表示出M的坐標(biāo)，利用設(shè)出的坐標(biāo)表示出和，根據(jù)，化簡(jiǎn)即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，然后由拋物線的方程找出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用M，F(xiàn)和Q的坐標(biāo)表示出向量，利用剛才化簡(jiǎn)的式子及求出的橫坐標(biāo)代入即可得到=λ，所以得到直線MQ過(guò)F點(diǎn)；（2）由第一問(wèn)求得的P和Q的橫坐標(biāo)相乘等于1，由y12﹣y22=16x1x2=16，y1y2＞0，得到y(tǒng)1y2的值，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|2，然后把P和Q的橫坐標(biāo)及得到的y1y2的值及x1x2的值分別代入得到關(guān)于λ的關(guān)系式，配方后利用λ的范圍求出λ+的范圍，即可求出λ+的最大值，讓其等于最大值解出此時(shí)λ的值，把λ的值代入關(guān)于λ的關(guān)系式即可求出|PQ|2的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此時(shí)P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線PQ的方程．

詳解：

（1）設(shè)

由拋物線C：得到F（1，0）

直線MQ經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F；

（2）由（1）知

則

當(dāng) 即 時(shí)， 有最大值，則的最大值為

此時(shí)

則直線的方程為：