Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，一條斜率等于1的直線(xiàn)L與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求弦AB最長(zhǎng)時(shí)直線(xiàn)L的方程
（2）求△ABC面積最大時(shí)直線(xiàn)L的方程
（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線(xiàn)L在y軸上的截距范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求弦AB最長(zhǎng)時(shí)直線(xiàn)L的方程，依據(jù)圓的特征：圓的直徑是最長(zhǎng)的弦，只須求出l過(guò)圓心時(shí)的方程即可；
（2）欲求△ABC面積最大時(shí)直線(xiàn)L的方程，因其兩腰定長(zhǎng)，故只須頂角為直角時(shí)面積最大，最后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可；
（3）將直線(xiàn)的方程代入圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系A(chǔ)B的中點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用|OM|＜

1

2

AB即可求得截距范圍，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵L過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)AB最大，圓心坐標(biāo)為（1，-2），∴L的方程為x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面積S=

1

2

CACBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
當(dāng)∠ACB=

π

2

時(shí)，△ABC的面積S最大，
此時(shí)△ABC為等腰三角形
設(shè)L方程為y=x+m，則圓心到直線(xiàn)距離為

3 2

2

從而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

m=0或m=-6則L方程為x-y=0或x-y-6=0（8分）
（3）設(shè)L方程為y=x+b（4）
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

⇒2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0(*)
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程（*）的解，
由

△＞0 x1+x2=-b-1

⇒

-3- 26 ＜b＜-3+ 26 x1+x2=-b-1

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(

-b-1

2

，

b-1

2

)
AB=2

9-( |3+b| 2 )2

由題意知：|OM|＜

1

2

AB⇒b²+3b-4＜0⇒-4＜b＜1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)的一般式方程、直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．