Question

已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f（x）=x有且僅有二個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[1，2]
B．（-∞，2）
C．[2，3）
D．（-3，-2]

Answer 1

【答案】分析：在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x的圖象，根據(jù)a值觀察兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可得當(dāng)a＜2時(shí)兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，相應(yīng)地方程應(yīng)有三個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)a≥3兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，相應(yīng)地方程只有一個(gè)實(shí)根．因此只有當(dāng)a∈[2，3）時(shí)，兩圖象有且僅有二個(gè)交點(diǎn)，相應(yīng)地方程且僅有二個(gè)實(shí)根等實(shí)數(shù)根．
解答：解：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)
當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的圖象是由y=3^-x的圖象向上或向下平移而得；
而x＞0的圖象是由左邊-1＜x≤0部分右移一個(gè)單位而來，得到0＜x≤1的部分；
0＜x≤1部分右移一個(gè)單位，得到1＜x≤2的部分；
依此類推，得到y(tǒng)軸右邊的各段圖象如圖．
當(dāng)a=2時(shí)，方程y=f（x）與y=x圖象恰好有且僅有二個(gè)交點(diǎn)，但是在此情況下將函數(shù)圖象向上平移一點(diǎn)，兩圖象就有三個(gè)不同的交點(diǎn)
向下平移時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，但平移超過1個(gè)單位時(shí)，a≥3，又變成了一個(gè)交點(diǎn)
因此，兩個(gè)圖象有且僅有2交點(diǎn)的a的取值范圍是[2，3），此時(shí)方程f（x）=x有且僅有二個(gè)不等實(shí)根
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)判斷等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合是此種問題的常用解法．