Question

f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題：甲：函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；乙：若x₁≠x₂則一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若規(guī)定f1( x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，則fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N*恒成立你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)有

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)知函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，是一個(gè)奇函數(shù)，先研究自變量大于0時(shí)的性質(zhì)，再由奇函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出另一部分的性質(zhì)．甲研究的是其值域問題；乙研究的是單調(diào)性問題；丙研究的是一個(gè)恒等式，宜用遞推關(guān)系推證結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，故函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，先研究（0，+∞）上的性質(zhì)
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f(x)=

x

1+x

(x∈R +)即f(x)=1-

1

1+x

(x∈R +)，函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)用值域?yàn)椋?，1）
由奇函數(shù)的定義知函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)且值域?yàn)椋?1，0），又f（0）=0故函數(shù)在R上的值域是（-1，1），且在R上是增函數(shù)，由此知甲乙兩命題是正確的．
對(duì)于丙，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））對(duì)任意的n∈N^*都成立，有f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

(x∈R)，
f₂（x）=f（f₁（x））=

x

1+2|x|

(x∈R)，f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3|x|

(x∈R)…f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

1+n|x|

(x∈R)故丙也是正確的．
綜上，三個(gè)命題都是正確的
故應(yīng)填3．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的性質(zhì)，判斷單調(diào)性與求值域時(shí)本題采用了分段研究的技巧，丙命題的證明采用了窮舉法，在解題時(shí)不常用．