Question

（2010•宿州三模）已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx，g(x)=

1

3

x3-x2．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g'（x）對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，再進(jìn)行分類討論：a≤0，a＞0時，利用f'（x）＞0確定函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；f'（x）＜0確定函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求導(dǎo)函數(shù)g'（x）=x²-2x，從而f（x）≥g'（x）即alnx-x≤0，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為a≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求右邊函數(shù)的最小值，從而確定實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，…（2分）
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0得x＞

a

，∴f（x）在(

a

，+∞)上為增函數(shù)；
令f′（x）＜0得0＜x＜

a

，∴f（x）在(0，

a

)上為減函數(shù)，
綜上：當(dāng)a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，f（x）的增區(qū)間為(

a

，+∞)，減區(qū)間為(0，

a

)．…（6分）
（2）∵g′（x）=x²-2x，∴f（x）≥g′（x）即alnx-x≤0，
由題意，a≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，…（8分）
令h(x)=

x

lnx

，則h′(x)=

lnx-1

ln2x

，
令h′（x）＞0得x＞e，∴h（x）在（e，+∞）上為增函數(shù)；
令h′（x）＜0得0＜x＜e，∴h（x）在（0，e）上為減函數(shù)；
故h(x)=

x

lnx

在x=e取最小值，∴a≤h（e）=e，∴a≤e．…（12分）
（或令h（x）=alnx-x，即h（x）_max≤0，分類討論即可）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題的處理，關(guān)鍵是分離參數(shù)，借助于函數(shù)的最值，求得參數(shù)的范圍．