Question

【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù)，為其前項的和，且成等差數(shù)列.

（1）寫出、、的值，并猜想數(shù)列的通項公式；

（2）證明（1）中的猜想；

（3）設(shè)，為數(shù)列的前項和.若對于任意，都有，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）代入，求出，，，猜想出即可；

（2）利用等差數(shù)列的定義證明即可；

（3）由（2）知，，因為，都是整數(shù)，所以對于任意，都是整數(shù)，進而是整數(shù)，所以，，此時，因為的任意性，不妨設(shè)，求出即可．

（1）解：由已知，

所以，，，

猜想

證明（2）當(dāng)時，，

所以

得，

因為，所以

數(shù)列為等差數(shù)列，又由（1），

所以

（3）解由（2）知，.

若，則，

因為，都是整數(shù)，所以對于任意，都是整數(shù)，進而是整數(shù)

所以，，此時，

設(shè)，則，所以或2

①當(dāng)時，對于任意，

②當(dāng)時，對于任意，

所以實數(shù)取值的集合為