Question

【題目】已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數(shù)列，請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)是，

【解析】

(1)根據(jù)及可得，再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出，即可求出橢圓的方程；

(2) 可設(shè)所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上，結(jié)合圖形即可求出的面積．

(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，

又，所以，①

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，②

由①②解得，所以橢圓C的方程為．

(1)可知，，可設(shè)所在直線的方程為，

由，得，

設(shè)，，，則，，

設(shè)直線、、的斜率分別為、、，

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，即，

所以，

又，

因?yàn)橹本�、、的斜率成等差數(shù)列，所以，

即，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)恒在一條直線上，

又因?yàn)橹本�方程為，且，

所以是定值.