Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，且過點M（4，1）． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠﹣3）與橢圓C交于P，Q兩點，記直線MP，MQ的斜率分別為k1 ， k2 ， 試探究k1+k2是否為定值．若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，e= = = ，則a2=4b2 ， 由橢圓過點M（4，1），代入橢圓方程： ，解得：b2=5，a2=20，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）k1+k2為定值0，下面給出證明，
設P（x1 ， y1），P（x2 ， y2），
則 ，整理得：5x2+8mx+2m2﹣20=0，
△=（8m）2﹣4×5×（2m2﹣20）＞0，解得：﹣5＜m＜5，且m≠﹣3，
則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
則k1+k2= + = ，
則（y1﹣1）（x2﹣4）+（y2﹣1）（x1﹣4）=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4），
=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1），
=2× +（m﹣5）（﹣ ）﹣8（m﹣1），
=0，
∴k1+k2=0，
∴k1+k2為定值0
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式，求得a2=4b2 ， 將M代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線l：代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可取得k1+k2=0．