Question

甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92
（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；
（2）求解出該題的人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望和方差

Answer 1

分析：（1）根據(jù)該題被甲獨(dú)立解出的概率和該題被甲或乙解出的概率，設(shè)出事件，表示出概率之間的關(guān)系，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到結(jié)果．
（2）解出該題的人數(shù)ξ，由題意知變量的取值可能是0，1，2，根據(jù)條件中給出的和第一問解出的概率，寫出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列、期望和方差．

解答：解：（1）記甲乙分別解出此題的事件記為A和B
設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P₁，乙獨(dú)立解出為P₂
則P（A）=P₁=06，P（B）=P₂
P（A+B）=1-P（

A

•

B

）=1-（1-P₁）（1-P₂）=P₁+P₂-P₁P₂=0.92
∴0.6+P₂-0.6P₂=0.92，則0.4P₂=0.32 即P₂=0.8
（2）由題意知變量的取值可能是0，1，2，
P（ξ=0）=P（

A

）•P（

B

）=0.4×0.2=0.08
P（ξ=1）=P（A）P（

B

）+P（

A

）P（B）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P（ξ=2）=P（A）•P（B）=0.6×0.8=0.48
∴ξ的概率分布為：

∴Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4
∴Dξ=（0-1.4）²•0.08+（1-1.4）²•0.44+（2-1.4）²-1.48
=0.1568+0.0704+0.1728=0.4

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是一個(gè)概率的綜合題，解題時(shí)注意兩問之間的關(guān)系．