Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到1 000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.
(1)若建立函數(shù)y＝f(x)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述該公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求，并分析函數(shù)y＝＋2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說(shuō)明原因；
(2)若該公司采用模型函數(shù)y＝作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

（1）不符合公司要求（2）328

(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f(x)，按公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求，函數(shù)y＝f(x)滿足：
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，
①f(x)在定義域[10,1 000]上是增函數(shù)；
②f(x)≤9恒成立；
③f(x)≤恒成立．(2分)
對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝＋2.
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，(3分)
f(x)_max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9.
所以f(x)≤9恒成立．
但x＝10時(shí)，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，
故該函數(shù)模型不符合公司要求．(6分)
(2)對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝，即f(x)＝10－，
當(dāng)3a＋20＞0，即a＞－時(shí)遞增；(8分)
要使f(x)≤9對(duì)x∈[10,1 000]恒成立，
即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；(10分)
要使f(x)≤對(duì)x∈[10,1 000]恒成立，
即≤，x²－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)
綜上所述，a≥，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328.(14分)