Question

已知函數(shù)其中b，c為常數(shù)且滿足f（1）=5，f（2）=6．
（1）求b，c的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）=5，f（2）=6，列方程組即可解得；
（2）定義法：設(shè)x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₂）＜f（x₁）；
（3）根據(jù)（2）問結(jié)論判斷函數(shù)f（x）在[，3]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求函數(shù)的最值，從而可得其值域；
解答：解：（1），
由題意得，，
解得；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，，
則f（x₂）-f（x₁）=（2x₂++1）-（）
=2（x₂-x₁）+
=．
因為x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，易知在（1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈[，3]時，f（x）_min=f（1）=5，
又f（）=6，f（3）=，f（3）＞f（），所以．
所以f（x）的值域為[6，]．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判定及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，定義研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法．