Question

已知橢圓c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周長為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線F₁A上的一個(gè)動點(diǎn)，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和△AF₁F₂周長為6，建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之得a=2、b=

3

且c=1，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線AF₁的方程為y=

3

（x+1），求出原點(diǎn)O關(guān)于直線AF₁的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

），從而得到|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=

7

，再由MF₂的方程y=-

3

5

（x-1）與AF₁方程聯(lián)解，即可得到此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得

a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2

，解之得a=2，b=

3

，c=1
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率e=

1

2

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直線AF₁的斜率為k=tan

π

3

=

3

∴直線AF₁的方程為y=

3

（x+1）
設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線AF₁的對稱點(diǎn)為M（m，n），則

n m • 3 =-1 n 2 = 3 ( m 2 +1)

，
解之得m=-

3

2

，n=

3

2

，可得M坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=

(- 3 2 -1)2+( 3 2 -0)2

=

7

直線MF₂的方程為y=

3 2 -0

- 3 2 -1

（x-1），即y=-

3

5

（x-1）
由

y=- 3 5 (x-1) y= 3 (x+1)

解得

x=- 2 3 y= 3 3

，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

2

3

，

3

3

）．
綜上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值為

7

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

2

3

，

3

3

）．

點(diǎn)評：本題在已知橢圓上頂點(diǎn)與焦距構(gòu)成正三角形的周長情況下，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并依此求一個(gè)距離和的最小值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)和運(yùn)用對稱解決距離之和最小值等知識，屬于中檔題．