Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²-ax（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂且x₁＜x₂，證明：對滿足p+q=1，p≤q的任意正常數(shù)，f′（px₁+qx₂）＜0恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用f'（x）＞0或f'（x）＜0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)，求f′（px₁+qx₂）的數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），則f′(x)=

2

x

-2x-a=-

2x2+ax-2

x

，令f'（x）=0，解得
x3=

-a- a2+16

4

＜0，x4=

-a+ a2+16

4

＞0，所以當0＜x＜x₄時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當x＞x₄時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

-a+ a2+16

4

)，單調(diào)遞減區(qū)間為[

-a+ a2+16

4

，+∞)．
（2）因為函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂且x₁＜x₂，所以

2lnx1- x 2 1 -ax1=0 2lnx2- x 2 2 -ax2=0

，兩式相減得a=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)，
因為f′(x)=

2

x

-2x-a=-

2x2+ax-2

x

，
所以f′(px1+qx2)=

2

px1+qx2

-2(px1+qx2)-[

2(ln?x1-ln?x2)

x1-x2

-(x1+x2)]
=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2p-1)(x2-x1)，
因為2p≤p+q=1，x₂＞x₁，所以（2p-1）（x₂-x₁）≤0，要證f′（px₁+qx₂）＜0，只要證明

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0即可，即只要證明

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0即可．
令

x1

x2

=t，0＜t＜1，即只要證明g(t)=

1-t

pt+q

+ln?t＜0在0＜t＜1上恒成立即可．g′(t)=

-1×(pt+q)-(1-t)p

(pt+q)2

+

1

t

=-

1

(pt+q)2

+

1

t

=

p2(t-1)(t- q2 p2 )

t(pt+q)2

，
因為p+q=1，0＜p≤q，所以

q

p

≥1，

q2

p2

≥1，所以當0＜t＜1時，t-1＜0，t-

q2

p2

＜0，
所以g'（x）＜0，所以函數(shù)g（t）在（0，1）上為增函數(shù)，所以g（t）＜g（1）=0．
所以

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，故所證明的不等式成立．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，運算量較大，綜合性較強．