Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結論；
（2）求證：平面PBC⊥平面PCD；

Answer 1

【答案】
解：（1）當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點E，連AE、EQ．
∵Q為PC中點，則EQ為△PCD的中位線，
∴EQ∥CD且EQ=CD．
∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．
∵BQ平面PAD，AE平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）證：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
【解析】（1）當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．取PD的中點E，連AE、EQ．只需證明平面PAD外的直線BQ平行于平面PAD內的直線AE，即可．
（2）要證平面PBC⊥平面PCD，只需證明AE垂直平面PAD內的兩條相交直線CD、PD，BQ∥AE，BQ平面PBC即可；
【考點精析】掌握直線與平面平行的性質和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．