Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n．
（1）若對任意的n∈N，a_2n-1，a_2n+1，a_2n組成公差為4的等差數(shù)列，且，求n的值；
（2）若數(shù)列{}是公比為q（q≠-1）的等比數(shù)列，a為常數(shù)，求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求得a_2n+1-a_2n-1=4，a_2n=a_2n-1+8（n∈N^*），從而得a₁，a₃，a₅，…a_2n-1，a_2n+1是公差為4的等差數(shù)列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1+8n，于是可求S_n=2n（2n+3），
由=2013即可求得n的值；
（2）由+a=（a+1）q^n-1，可求得S_n=（a+1）q^n-1a_n-aa_n，S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1-aa_n+1，兩式相減得（a+1）（1-qⁿ）a_n+1=[a-（a+1）q^n-1]a_n，若q=1+，可證得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，（充分性）；若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，可證得q=1+，（必要性）．
解答：解：（1）因為a_2n-1，a_2n+1，a_2n組成公差為4的等差數(shù)列，
所以a_2n+1-a_2n-1=4，a_2n=a_2n-1+8（n∈N^*），…（2分）
所以a₁，a₃，a₅，…a_2n-1，a_2n+1是公差為4的等差數(shù)列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1+8n，…（4分）
又因為a₁=1，
所以S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）+8n
=2[n+×4]+8n=4n²+6n=2n（2n+3），
所以=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）
（2）因為+a=（a+1）q^n-1，所以S_n=（a+1）q^n-1a_n-aa_n，①
所以S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1-aa_n+1，②
②-①，得（a+1）（1-qⁿ）a_n+1=[a-（a+1）q^n-1]a_n，③…（8分）
（�。┏浞中裕阂驗閝=1+，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得
q（1-qⁿ）a_n+1=（1-qⁿ）a_n，因為q≠-1，q≠1，
所以=，n∈N^*，所以{a_n}為等比數(shù)列，…（12分）
（ⅱ）必要性：設{a_n}的公比為q，則由③得（a+1）（1-qⁿ）q=a-（a+1）q^n-1，
整理得（a+1）q-a=（a+1）（q-）qⁿ，…（14分）
此式為關于n的恒等式，若q=1，則左邊=0，右邊=-1，矛盾；
若q≠±1，當且僅當時成立，所以q=1+．
由（�。�、（ⅱ）可知，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為q=1+．…（16分）
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的求和與等比數(shù)列的分析確定，考查充分必要條件的推理論證，屬于難題．