Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為x且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（Ⅰ）求角f（x）=ax²-4bx+1；
（Ⅱ）若a=（0，-1），b（cosB，2cos 2

C

2

），試求|y=f（x）|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡已知等式的左邊，利用正弦定理化簡等式的右邊，左邊通分后，分子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sin（A+B）=sinC，把已知等式變形求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的加法法則計算出

a

+

b

，然后得出|

a

+

b

|²，根據(jù)A的度數(shù)得出B+C的度數(shù)，進而用C表示出B，代入可得到關(guān)于B的關(guān)系式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得到正弦函數(shù)的最大值，即可得到|

a

+

b

|²的最小值，開方可得所求式子的最小值．

解答：解：（Ⅰ）已知的等式1+

tanA

tanB

=

2c

b

化簡得：
1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

（2分）
即

sinBcosA+sincosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴cosA=

1

2

，（5分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；（6分）

（Ⅱ）

a

+

b

=（cosB，2cos²

C

2

-1）=（cosB，cosC），（8分）
∴|

a

+

b

|²=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

2π

3

-B）=1-

1

2

sin（2B-

π

6

），（10分）
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
從而-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，（12分）
∴當(dāng)sin（2B-

π

6

）=1，即B=

π

3

時，|

a

+

b

|²取得最小值

1

2

，
所以|

a

+

b

|min=

2

2

．（14分）

點評：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握定理、公式及法則是解本題的關(guān)鍵．