Question

如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點(diǎn)M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長度．

Answer 1

（1）詳見解析;（2）．

試題分析：（1）由于這是一個(gè)正四棱錐，故易建立空間坐標(biāo)系，易得各點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得，由，得，即可求得向量的坐標(biāo)：．不難計(jì)算出它們的數(shù)量積，問題得證;（2）利用在上，可設(shè)，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，進(jìn)而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夾角公式可得，解得，從而確定出，由兩點(diǎn)間距離公式得.
試題解析：證明：連接交于點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045013744628.png" style="vertical-align:middle;" />，則．
（1）由，得，由，得，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045013432759.png" style="vertical-align:middle;" />．所以.                   4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045013447399.png" style="vertical-align:middle;" />在上，可設(shè)，得．
所以．
設(shè)平面的法向量，
由得
其中一組解為，所以可取n＝(λ－1，0，λ).        8分
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045014446447.png" style="vertical-align:middle;" />的法向量為，
所以，解得， 
從而，
所以.                      10分