Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時，試比較與1的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）或
（Ⅱ）①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)時，，即；
③當(dāng)時，，即．
（Ⅲ）見解析

(I)當(dāng)時，g(x)=f(x)-k有一個零點，實質(zhì)是y=f(x)與直線y=k有一個公共點，所以利用導(dǎo)數(shù)研究y=f(x)的單調(diào)性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.
(II)當(dāng)a=2時，令,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關(guān)系.
(III)解本小題的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有，從而得,問題得解.
解：（Ⅰ）當(dāng)時，，定義域是，
，令，得或．  …2分
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分
的極大值是，極小值是．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
當(dāng)僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分
（Ⅱ）當(dāng)時，，定義域為．
令，
，    在上是增函數(shù)． ………7分
①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)時，，即；
③當(dāng)時，，即．……………9分
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有，   
． ……………12分
，．  ……………14分
（法二）當(dāng)時，．
，，即時命題成立．…………………10分
設(shè)當(dāng)時，命題成立，即．
時，．
根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．……………13分
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．……………………14分
（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分
，
又，，
．
．………………14分