【題目】已知向量 , ,函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)計(jì)算;
(3)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1) .(2) 2018. (3)當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、二倍角公式和與輔助角公式可得,根據(jù)的圖象過(guò)點(diǎn),點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為,確定,從而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果;(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及周期性可得結(jié)果;(3),函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,幾何圖形可得結(jié)果.
試題解析:(1) 向量, , 點(diǎn)為函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn), 點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為, , 函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn), , , ,由,得, 的單調(diào)增區(qū)間是.
(2) 由(1)知的周期為,且, ,而.
(3) ,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,
由圖象可知,①當(dāng)或時(shí),函數(shù)的圖象與直線在上的無(wú)公共點(diǎn),即函數(shù)無(wú)零點(diǎn);②當(dāng)與時(shí),函數(shù)的圖象與直線在上有一個(gè)公共點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)公共點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),綜上,當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若在處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知橢圓:過(guò)點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),記的內(nèi)切圓的面積為,求當(dāng)取最大值時(shí)直線的方程,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)為常數(shù),且在區(qū)間變化時(shí),求的最小值;
(2)證明:對(duì)任意的,總存在,使得 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進(jìn)貨的量,該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象,如下圖所示((噸)為該商品進(jìn)貨量, (天)為銷售天數(shù)):
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格中繪制散點(diǎn)圖:
(Ⅱ)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中的計(jì)算結(jié)果,若該商店準(zhǔn)備一次性進(jìn)貨該商品噸,預(yù)測(cè)需要銷售天數(shù);
參考公式和數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;
(Ⅱ)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在直線上,且滿足
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)做直線與軌跡交于兩點(diǎn),若在軸上存在一點(diǎn),使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),和平面內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試求滿足的關(guān)系式.
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