Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L：上不同的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為．
（1）求直線AB的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點(diǎn)C、D，試問(wèn)四點(diǎn)A、B、C、D是否在同一個(gè)圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：解一：（1）將點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，兩式相減，再利用線段AB的中點(diǎn)為，可求直線AB的斜率．故可求直線AB的方程；
解二：當(dāng)直線AB的不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意．設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0，利用AB的中點(diǎn)為M（2，1），結(jié)合韋達(dá)定理，可求直線AB的方程．
（2）由 消去y，得3x²-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），將線段AB的垂直平分線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得3x²-4x-16=0，從而可求線段CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而可知四點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，從而可求圓的方程．
解答：解一：（1）∵點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L上不同的兩點(diǎn)，
∴，．
以上兩式相減得：，
即，，
∵線段AB的中點(diǎn)為，
∴．
∴，
當(dāng)x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂則A，B重合，與已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
解二：當(dāng)直線AB的不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意．
故可設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0（*）
∴．
∵AB的中點(diǎn)為M（2，1），
∴x₁+x₂=4．
∴．
解得k=-1．
此時(shí)方程（*）為3x²-12x=0，其判別式△=144＞0．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
（2）由于直線AB的方程為x+y-3=0，則線段AB的垂直平分線CD的方程為y-1=x-2，即x-y-1=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由消去y，得3x²-4x-16=0
設(shè)C（，），D（，），
∴．
∴線段CD的中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)．
∴E．
∴．
∵=，
=，
∴四點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)E，半徑為，
其方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓中弦的中點(diǎn)問(wèn)題，考查四點(diǎn)共圓，解題時(shí)，利用設(shè)而不求法是關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．