【題目】如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直線的方向向量，根據(jù)公式得到線面角的正弦值。.

解析：

（1）在直三棱柱中

又

平面， 平面，

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

（2）由（1）可知

以點為坐標原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立坐標系.設(shè)

， ， ， ， ， ， ，

直線的方向向量，平面的法向量

可知∴

， ，

設(shè)平面的法向量

∴∴

設(shè)平面的法向量

∴∴

記二面角的平面角為

∴

二面角的平面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ,其中 為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中， ， 是線段的中點，且 平面．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證： 平面；

（Ⅲ）若， ，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為．求的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學調(diào)查了某班全部名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）

（1）能否由的把握認為參加書法社團和參加演講社團有關(guān)？

（附：

當時，有的把握說事件與有關(guān)；當，認為事件與是無關(guān)的）

（2）已知既參加書法社團又參加演講社團的名同學中，有名男同學， ， ， ， ， 名女同學， ， .現(xiàn)從這名男同學和名女同學中各隨機選人，求被選中且未被選中的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考】函數(shù)在處的切線斜率為．

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）設(shè)， ，對任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中， 平面,底面為梯形， , ， ，點， 分別為， 的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使與平面所成角的正弦值是，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝ 若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．

(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？

(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值(精確到0.1，參考數(shù)據(jù): 取1.4)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2017·北京高考)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.

(1)證明：A1O∥平面B1CD1；

(2)設(shè)M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案