Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為．點(diǎn)、在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱，過(guò)線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、．

（1）求軌跡的方程；

（2）證明：；

（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程。

Answer 1

（1）方法1：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得，．

整理，得．所以軌跡的方程為

方法2：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．

且其中定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線．

所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．

（2）由（1）得，即，則．

設(shè)點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為．

由題意知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，，

則，

即．

因?yàn)?sub>，．

由于，即．

所以．

（3）方法1：由點(diǎn)到的距離等于，可知．

不妨設(shè)點(diǎn)在上方（如圖），即，直線的方程為：．

由

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以．

由（2）知，同理可得．

所以△的面積，

解得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．

方法2：由點(diǎn)到的距離等于，可知．

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨設(shè)點(diǎn)在上方（如圖），即，由①、②解得

因?yàn)?sub>，

同理． 

以下同方法1．

【解析】