Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若對任意的，，都有.

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；

（2）若，求實數(shù)的取值范圍；.

（3）若不等式對任意和都恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，證明見詳解（2）（3）.

【解析】

（1）設(shè)任意，滿足，利用函數(shù)單調(diào)性定義證明（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可化為，求解即可（3）不等式對任意和都恒成立轉(zhuǎn)化為對任意都恒成立，令，轉(zhuǎn)化為對恒成立，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

（1）在上是增函數(shù)，證明如下：

設(shè)任意，滿足,

,

即，

所以函數(shù)在上是增函數(shù).

(2)因為函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以原不等式可化為，

解得，

所以實數(shù)的取值范圍為.

（3）因為不等式對任意和都恒成立，

所以對任意都恒成立，由（1）知

故對任意都恒成立，

即對任意都恒成立，

令，

則只需，解得

所以實數(shù)的取值范圍為.