Question

設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）為平面直角坐標系上的兩點，其中x_A，y_A，Bx_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，則稱點B為點A的“相關點”，記作：B=i（A）．
（Ⅰ）請問：點（0，0）的“相關點”有幾個？判斷這些點是否在同一個圓上，若在，寫出圓的方程；若不在，說明理由；
（Ⅱ）已知點H（9，3），L（5，3），若點M滿足M=i（H），L=i（M），求點M的坐標；
（Ⅲ）已知P₀（x₀，y₀）（x₀∈Z，Y₀∈Z）為一個定點，點列{P_i}滿足：P_i=i（P_i-1），其中i=1，2，3，…，n，求|P₀P_n|的最小值．

Answer 1

解：（I）因為|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|與|△y|為非零整數，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以點（0，0）的“相關點”有8個，
分別為：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因為 （△x）²+（△y）²=5，即+=5，
所以，這些可能值對應的點在以（0，0）為圓心，以為半徑的圓上．…（3分）
（II）設M（x_M，y_M），因為M=i（H），L=i（M），
所以有|x_M-9|+|y_M-3|=3，|x_M-5|+|y_M-3|=3，…（5分）
所以|x_M-9|=|x_M-5|，所以x_M=7，故y_M=2 或 y_M=4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）當n=2k，且 k∈N^* 時，|P₀P_n|的最小值為0．例如：P₀（x₀，y₀ ），
P₁ （x₀+1，y₀ ），P₂（（x₀，y₀ ），顯然，P₀=i（P₁），P₁=i（P₂），此時，|P₀P₂|=0．…（8分）
當n=1時，可知，|P₀P_n|的最小值為 ．…（9分）
當n=3 時，對于點P，按照下面的方法選擇“相關點”，可得P₃（x₀，y₀+1）：
由P₀（x₀，y₀ ），依次找出“相關點”分別為P₁（x₀+2，y₀+1），P₂（x₀+1，y₀+3），P₃（x₀，y₀+1）．
此時，|P₀P₃|=1，故|P₀P_n|的最小值為1．…（11分）
然后經過3次變換回到P₃（x₀，y₀+1），故|P₀P_n|的最小值為1．
當n=2k+1，k＞1，k∈N^* 時，經過2k次變換回到初始點P₀（x₀，y₀ ），
故經過2k+1次變換回到P₃（x₀，y₀+1），故|P₀P_n|的最小值為1．
綜上，當 n=1 時，|P₀P_n|的最小值為．
當當n=2k，k∈N^* 時，|P₀P_n|的最小值為0，
當n=2k+1，k∈N^* 時，|P₀P_n|的最小值為1． …（13分）
分析：（I）由題意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得點（0，0）的“相關點”有8個．再根據+=5，可得這些可能值對應的點在以（0，0）為圓心，以為半徑的圓上．
（II）設M（x_M，y_M），由條件推出|x_M-9|+|y_M-3|=3，|x_M-5|+|y_M-3|=3，由此求得點M的坐標．
（III） 分當n=1、當n=2k，當n=2k+1，且 k∈N^* 時，三種情況，分別求得|P₀P_n|的最小值，綜合可得結論．
點評：本題主要考查圓的方程，兩點間的距離公式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．