在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)M（-
6
，0），N（
6
，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|
PM
|+|
PN
|=4
2
，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）判斷是否存在點(diǎn)P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)A，B是曲線C上的兩點(diǎn)，且|AB|=
8
3
，求△AOB面積的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由題意可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，根據(jù)已知條件求出a，c，再由b2=a2-c2求出b，則答案可求；
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則由焦半徑公式得到關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求解方程無實(shí)數(shù)解，所以假設(shè)錯(cuò)誤，不存在點(diǎn)P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列；
（Ⅲ）分AB所在直線與x軸垂直和不垂直兩種情況討論，垂直時(shí)求出三角形的面積，斜率不存在時(shí)射出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式得到直線的斜率和截距的關(guān)系，由圓心到直線的距離得到圓心到直線的距離，代入面積公式后化為一個(gè)變量的關(guān)系式，利用配方法求最值．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閮啥c(diǎn)的坐標(biāo)為M（-
6
，0），N（
6
，0），
所以|MN|=2
6
=
24
，由動(dòng)點(diǎn)P滿足|
PM
|+|
PN
|=4
2
=
32
＞
24
，
所以點(diǎn)P的軌跡為以2
2
為半長(zhǎng)軸，以M（-
6
，0），N（
6
，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
由b2=a2-c2=(2
2
)2-(
6
)2=2．
所以曲線C的方程為
x2
8
+
y2
2
=1；
（Ⅱ）若存在點(diǎn)P（x0，y0），使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
則|PM||PN|=|MN|2，
因?yàn)闄E圓的離心率e=
6
2
2
=
3
2
，由焦半徑公式得：|PM|=2
2
+
3
2
x0，|PN|=2
2
-
3
2
x0．
所以(2
2
+
3
2
x0)(2
2
-
3
2
x0)=4×(
6
)2，即8-
3
4
x02=24，此方程無解．
故不存在點(diǎn)P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列；
（Ⅲ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由|AB|=
8
3
，得A，B的縱坐標(biāo)分別為±
4
3
．
代入橢圓方程可得其橫坐標(biāo)為-
2
2
3
或
2
2
2
．
此時(shí)S△OAB=
1
2
×
8
3
×
2
2
3
=
8
2
9
；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)AB所在直線方程為y=kx+b，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y=kx+b
x2
8
+
y2
2
=1
，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-8=0．
所以x1+x2=-
8kb
1+4k2
，x1x2=
4b2-8
1+4k2
．
|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
(-
8kb
1+4k2
)2-4•
4b2-8
1+4k2
=
8
3
，
整理得：|b|=
8k4+58k2+14
3
1+k2
．
原點(diǎn)O（0，0）到AB所在直線的距離為d=
|b|
1+k2
．
所以S△OAB=
1
2
×
8
3
×
|b|
1+k2

=
4
9
×
8k4+58k2+14
(1+k2)2

=
4
9
-36•(
1
1+k2
)2+42(
1
1+k2
)+8
．
令
1
1+k2
=t（0＜t≤1）．
則S△OAB=
4
9
-36t2+42t+8
．
所以當(dāng)t=
7
12
時(shí)，S△OAB有最大值為2．
所以
8
2
9
＜S△OAB≤2．
綜上，
8
2
9
≤S△OAB≤2．
所以，△AOB面積的取值范圍是[
8
2
9
，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線方程的求法，考查了等比關(guān)系的確定，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了換元法，特別是考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬有一定難度題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A（2，2）．B（1，3），C（1，1），記△ABC的外接圓為E．
（I）求圓E的方程；
（Ⅱ）若過原點(diǎn)O的直線l與圓E相交所得弦的長(zhǎng)為
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），點(diǎn)P滿足|
PM
|+|
PN
|=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1
，|
PM
|的最大值等于
3
3
．

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