Question

為了立一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形的支架三角形支架形狀如圖，要求∠ACB=60°，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米
（1）當(dāng)BC長(zhǎng)度為2米時(shí)，AC為多少米？
（2）為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，求BC長(zhǎng)度為多少米時(shí)，AC長(zhǎng)度最短，最短為多少米？

Answer 1

分析：（1）BC的長(zhǎng)度為2米，AC的長(zhǎng)度為x米，依據(jù)題意可表示出AB的長(zhǎng)度，然后代入到余弦定理中求得x的值即可．
（2）設(shè)BC的長(zhǎng)度為x米，AC的長(zhǎng)度為y米，依據(jù)題意可表示出AB的長(zhǎng)度，然后代入到余弦定理中求得x和y的關(guān)系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等號(hào)時(shí)x的值．．

解答：解：（1）由題意BC=2，設(shè)AC=x，則AB=x-0.5，
在△ABC中，依余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
即（x-0.5）²=x²+2²-2×2×x×

1

2

，
解得x=

15

4

．
當(dāng)BC長(zhǎng)度為2米時(shí)，AC為

15

4

米．
（2）設(shè)BC的長(zhǎng)度為x米，AC的長(zhǎng)度為y米，則AB的長(zhǎng)度
為（y-0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
即（y-0.5）²=y²+x²-2yx×

1

2

，化簡(jiǎn)，得y（x-1）=x²-

1

4

∵x＞1，
∴2-1＞0
因此y=

x2- 1 4

x-1

，
y=(x-1)+

3

4(x-1)

+2≥

3

+2
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

3

4(x-1)

時(shí)，取“=”號(hào)，
即x=1+

3

2

時(shí)，y有最小值2+

3

．
答：AC最短為2+

3

米，BC長(zhǎng)度為1+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及基本不等式求最值問(wèn)題．考查了考生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力．