Question

（2013•宿遷一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，BC=BB₁，D為AB的中點．
（1）求證：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求證：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）BC₁⊥平面AB₁C，即要證BC₁與平面AB₁C內兩條相交直線均垂直，結合已知、直棱柱的幾何特征及正方形的性質，可證得結論．
（2）要證BC₁∥平面CA₁D，必須證明BC₁∥平面CA₁D內的一條直線，因而連接AC₁與A₁C的交點E與D，證明即可．

解答：證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC；
又∵AC?平面ABC
∴CC₁⊥AC
又∵AC⊥BC，CC₁∩BC=C
∴AC⊥平面B₁C₁CB
又∵B₁C?平面B₁C₁CB
∴B₁C⊥AC
又∵BC=BB₁，
∴平面B₁C₁CB為正方形，
∴B₁C⊥BC₁，又∵B₁C∩AC=C
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）連接BC₁，連接AC₁于E，連接DE，E是AC₁中點，
D是AB中點，則DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D₁，BC₁?面CA₁D₁
∴BC₁∥面CA₁D

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查線面垂直的判定，線面平行的判定，轉化的數學思想是中檔題．