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(本小題滿分13分)

已知數列滿足，且對任意，都有．

(Ⅰ）求證：數列為等差數列；

(Ⅱ）試問數列中是否仍是中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

（Ⅲ）令   證明：對任意.

（本小題滿分13分）

解: （Ⅰ），即，          ……1分

所以，                                              ……. 2分

所以數列是以為首項，公差為的等差數列．                     ……3分

（II）由（Ⅰ）可得數列的通項公式為，所以．…… 4分

                          …….5分

．                              …… 7分

因為，                           …… 8分

當時，一定是正整數，所以是正整數．

(也可以從k的奇偶性來分析)                                       

所以是數列中的項，是第項．                 …… 9分

(Ⅲ)證明：由（2）知：， …..10分

下面用數學歸納法證明：對任意。

(1)當時，顯然，不等式成立.                                 …..11分

(2)假設當

當

….12分

即有：也成立。

綜合(i)(ii)知：對任意               ……13分

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