Question

如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),

F為AE的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:

(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K,使BC∥平面DFK?若存在,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求證:平面BDE⊥平面ADE.

Answer 1

【解析】(1)線段AB上存在一點(diǎn)K,且當(dāng)AK=AB時(shí),BC∥平面DFK,

證明如下:

設(shè)H為AB的中點(diǎn),連接EH,則BC∥EH,

又因?yàn)锳K=AB,F為AE的中點(diǎn),

所以KF∥EH,所以KF∥BC,

因?yàn)镵F⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,所以BC∥平面DFK.

(2)因?yàn)镕為AE的中點(diǎn),DA=DE=1,所以DF⊥AE.

因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE,

因?yàn)锽E⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.

又因?yàn)樵谡燮鹎暗膱D形中E為CD的中點(diǎn),AB=2,BC=1,所以在折起后的圖形中:AE=BE=,

從而AE²+BE²=4=AB²,所以AE⊥BE,

因?yàn)锳E∩DF=F,所以BE⊥平面ADE,

因?yàn)锽E⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.