Question

已知向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="x9atlra" class="MathJye">

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，且ω∈（0，1），即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）確定h（x）=2sin（2x-

π

3

），關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•(

3

，2cosωx)=

3

cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，∴2sin（πω+

π

3

）=±2
∴πω+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），即ω=k+

1

6

（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=

1

6

∴f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="fexwy6k" class="MathJye">

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）=2sin（2x-

π

3

）的圖象，
令2x-

π

3

=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[

π

3

，

2π

3

]
∴關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
即y=2sint，t∈[

π

3

，

2π

3

]的圖象與y=-k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴-

3

＜k≤

3

或k=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查函數(shù)解析式的確定，考查圖象的變換，考查解的問題，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．