已知函數(shù)f（x）=x2－4，設曲線y＝f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）（n∈N +），其中xn為正實數(shù)．
（1）用xn表示xn+1；
（2）若x1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項公式；
（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項和，證明Tn<3．

（1）；（2）；（3）詳見解析．

解析試題分析：（1）由題設條件知曲線y=f（x）在點處的切線方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ec/1/kdhlk2.png" style="vertical-align:middle;" />．（3）由題設知，所以，由此可知．
解：（1）由題可得．
所以曲線在點處的切線方程是：．
即．
令，得．
即．顯然，
∴．
（2）由，知，’同理．----6’
故．-----7’
從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．---8’
故．即．----9’
從而,所以．----10’
（3）由（Ⅱ）知，∴
∴   ---11’
當時，顯然．-------12’
當時，-----13’
∴．綜上，．
考點：1．數(shù)列遞推式；2．等比關系的確定；3．數(shù)列的求和；4．不等式的證明．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．    [來源:學科

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意的都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知A，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋Ax2＋b x的兩個極值點．
(1)求A和b的值；
(2)設函數(shù)g(x)的導函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設在x=1處有極小值－1，
(1)試求的值;  (2)求出的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的導數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×<(n≥2，n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)() =，g ()=+。
（1）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由；
（2）設數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有≤ .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中m∈R．
（1）若0<m≤2，試判斷函數(shù)f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調(diào)性，并證明你的結論；
（2）設函數(shù) 若對任意大于等于2的實數(shù)x1，總存在唯一的小于2的實數(shù)x2，使得g (x1) =" g" (x2) 成立，試確定實數(shù)m的取值范圍．

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