Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）雙曲線與橢圓C具有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，求雙曲線的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂，A、B是橢圓上的點(diǎn)，且

AF2

=2

F2B

，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，求得雙曲線的長(zhǎng)半軸和短半軸的長(zhǎng)，進(jìn)而可得雙曲線的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），由

AF2

=2

F2B

得出B的坐標(biāo)表示，再由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得出關(guān)于x₁，y₁的方程，解得x₁，y₁最后利用直線的斜率公式即可．

解答：解：（1）由已知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為

1

2

，
所以所求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為2，…（2分）
雙曲線c=1， 

c

a

=2，解得a2=

1

4

， b2=

3

4

，
所求雙曲線方程為4x2-

4y2

3

=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），由

AF2

=2

F2B

得B(

3-x1

2

，-

y1

2

)，…（5分）
由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得

x12

4

+

y12

3

=1，

(3-x1)2

4

+

y12

3

=4，…（8分）
解得x1=-

1

2

，y1=±

3

4

5

，…（10分）
所以k=

y1

x1-1

=±

5

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，解答直線AB的斜率的關(guān)鍵是利用方程組思想．