Question

已知圓錐曲線

x=3cosθ y=2 2 sinθ

(θ是參數(shù)）和定點(diǎn)A(0，

3

3

)，F(xiàn)₁、F₂是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)F₂且垂直地于直線AF₁的直線l的參數(shù)方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF₂的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系消去參數(shù)θ即可將圓錐曲線化為普通方程，從而求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線的斜率求得直線l的傾斜角，最后利用直線的參數(shù)方程形式即得．
（2）設(shè)P（ρ，θ）是直線AF₂上任一點(diǎn)，利用正弦定理列出關(guān)于ρ，θ的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即得直線AF₂的極坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）圓錐曲線

x=3cosθ y=2 2 sinθ

化為普通方程

x2

9

+

y2

8

=1，
所以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），則直線AF₁的斜率k=

3

3

，
于是經(jīng)過點(diǎn)F₂垂直于直線AF₁的直線l的斜率k1=-

3

，直線l的傾斜角是120°，
所以直線l的參數(shù)方程是

x=1+tcos120° y=tsin120°

（t為參數(shù)），
即

x=- 1 2 t+1 y= 3 2 t

（t為參數(shù)）．（6分）
（2）直線AF₂的斜率k=-

3

3

，傾斜角是150°，
設(shè)P（ρ，θ）是直線AF₂上任一點(diǎn)，
則

ρ

sin30°

=

1

sin(150°-θ)

，ρsin（150°-θ）=sin30°，（8分）
所以直線AF₂的極坐標(biāo)方程：

3

ρsinθ+ρcosθ=1．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．