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已知
2
3
≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），已知g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數表達式．
（2）判斷g（a）在[
2
3
，1]上的單調性，并證明．
（3）求出函數y=g（a）在[
2
3
，1]上的值域．
分析：（1）先判定二次函數的對稱軸的范圍，然后根據二次函數的性質可求出該函數的最值，從而求出g（a）的函數表達式．
（2）先求導函數，然后判定導函數在[
2
3
，1]上的符號，從而確定函數的單調性；
（3）利用（2）的結論可求出函數的最值，從而得到函數的值域．
解答：解：（1）函數f（x）=ax2-2x+1的對稱軸為x=
1
a

∵
2
3
≤a≤1，
∴
1
a
∈[1，
3
2
]
∵函數f（x）=ax2-2x+1開口向上，對稱軸x=
1
a
∈[1，
3
2
]
∴g（a）=M（a）-N（a）=f（3）-f（
1
a
）=9a+
1
a
-6．
（2）g′（a）=9-
1
a2

當a∈[
2
3
，1]時，g′（a）=9-
1
a2
＞0
∴g（a）在[
2
3
，1]上單調遞增
（3）由（2）可知g（a）在[
2
3
，1]上單調遞增
∴g（a）min=g（
2
3
）=
3
2
，g（a）max=g（1）=4
則函數y=g（a）在[
2
3
，1]上的值域為[
3
2
，4]
點評：本題主要考查了二次函數的性質，以及利用導數研究函數的單調性和值域，同時考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，n)，
b
=(m+n，m)，若
a
•
b
=1且m，n∈R*，則m+n的最小值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，
3
，2)，
b
=(x，-2
3
，-1)，若（2
a
+
b
）⊥
b
，則x=
1或-3
1或-3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，  cosθ)，  
b
=(1，  -cosθ)，  
c
=(
2
3
， 1)，若不等式
a
•
b
≤t(2
a
+
b
)•
c
對θ∈[0， 
π
2
]恒成立，則實數t的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足AX=
3
1
，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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