已知函數(shù)f(x)=4sin2(x+
π
4
)+4
3
cos2x-(1+2
3
)，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足a，b，c依次成等比數(shù)列，求f（B）的最值．
分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=4sin(2x+
π
3
)+1，由此求得它的對(duì)稱中心和單調(diào)增區(qū)間．
（2））△ABC中，由等比數(shù)列的定義、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥
1
2
，從而得到B的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（B）的最值．
解答：解：（1）f(x)=2[1-cos(2x+
π
2
)]+2
3
cos2x-1=2sin2x+2
3
cos2x+1=4sin(2x+
π
3
)+1，…（2分）．
令2x+
π
3
=kπ，k∈z，解得 x=
kπ
2
-
π
6
，k∈z，
故函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為(
kπ
2
-
π
6
，1)，k∈Z…（4分）．
由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，求得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z…（6分）．
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，
由余弦定理可得 cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
 ≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，∴0＜B≤
π
3
…（8分）．
由于f（B）=4sin（2B+
π
3
）+1，
π
3
＜2B+
π
3
≤π，
當(dāng)且僅當(dāng)2B+
π
3
=
π
2
，即B=
π
12
時(shí)，f（B）max=5，…（10分）．
當(dāng)且僅當(dāng)2B+
π
3
=π，即B=
π
3
時(shí)，f（B）min=1…（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、定義域和值域，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　　）
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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