Question

如圖，在三棱錐中，,,為的中點(diǎn)，,=.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）欲證面面垂直，應(yīng)先證線線垂直、線面垂直.注意到在中的邊長(zhǎng)關(guān)系，應(yīng)用勾股定理逆定理可得為直角三角形，．

又，且是的中點(diǎn)，可得，從而證得平面，即證得

平面平面．

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用“向量法”求解.

確定平面的一個(gè)法向量為，

根據(jù)，得到直線與平面所成角的正弦值為．

試題解析：（1）證明：在中，，

，

，

則為直角三角形，

所以，．

又由已知，

且是的中點(diǎn)，可得

又，

平面

又面

平面平面．（6分）

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖

所示直角坐標(biāo)系，

則，

．

設(shè)平面的法向量為，則有

即

解得：，

所以，平面的一個(gè)法向量為，

，

故直線與平面所成角的正弦值為．（12分）

考點(diǎn)：垂直關(guān)系，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.