Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點為，求證： .

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時， 的極大值為，無極小值；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的極值；（2）求導(dǎo)，將函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)非負(fù)恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（3）連續(xù)兩次求導(dǎo)，分別通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號變化研究函數(shù)的極值，再作差構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用求導(dǎo)進行求解.

試題解析：（1）當(dāng)時， ，定義域為，

，令，得.

		極大值

當(dāng)時， 的極大值為，無極小值.

（2），由題意對恒成立.

， ，

對恒成立，

對恒成立.

令， ，則，

①若，即，則對恒成立，

在上單調(diào)遞減，

則， ， 與矛盾，舍去；

②若，即，令，得，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時， ，

.綜上.

（3）當(dāng)時， ， ，

令， ，

則 ，令，得，

①當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減， ，

恒成立， 單調(diào)遞減，且.

②當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

又 ，

存在唯一，使得， ，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，且，

由①和②可知， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時， 取極大值.

， ，

，

又， ， .