Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=

2

，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)
（1）求證：D₁E⊥平面AB₁F；
（2）求直線AB與平面AB₁F所成的角；
（3）求二面角A-B₁F-B的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量間的運(yùn)算可得：

.

D1F

⊥

.

AF

，

.

D1E

⊥

.

AB1

，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（2）由題意可得：

.

AB

=（0，2，0），并且寫出平面AB₁F的法向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角．
（3）根據(jù)題意分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建系如圖．

其中A（1，0，0），B（1，2，0），A₁（1，0，

2

），B₁（1，2，

2

），D₁（0，0，

2

），
E（1，1，0），F(xiàn)（0，1，0）
（1）

.

D1E

=（1，1，-

2

），

.

AF

=（-1，l，0），

.

AB1

（0，2，

2

）

.

D1F

•

.

AF

=-1+1+0=0，

.

D1E

•

.

AB1

=0+2-

2

×

2

=0，故

.

D1F

⊥

.

AF

，

.

D1E

⊥

.

AB1

即D₁E⊥AF，D₁E⊥AB_l，又AB_l∩AF=A，得D₁E⊥平面AB₁F．
（2）

.

AB

=（0，2，0），由（1）知平面AB₁F的法向量可為

D1E

=（1，1，-

2

），
設(shè)AB與平面AB₁F所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

.

D1E

，

.

AB

＞|=|

2

2×2

|=

1

2

，
故AB與平面AB₁F所成的角為30°
（3）

.

BF

=（-1，-1，0），

.

BB1

=（0，0，

2

），設(shè)平面BFB₁的法向量為

.

n

=（x，y，z），
則有-x-y=0，

2

z=0，
令x=1，則

.

n

可為（1，-l，0），
又平面AB₁F的法向量可為

.

D1E

=（1，1，-

2

），且

.

n

•

.

D1E

=1-1=0，
故

.

n

⊥

.

D1E

，即平面BFB₁⊥平面AB₁F 
所以所求二面角大小為90°

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便距離空間直角坐標(biāo)系利用空間向量解決線面平行于垂直問題，以及解決空間角問題．