Question

（08年蕪湖一中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中以為正實(shí)數(shù)）代替得到曲線的方程，則稱曲線關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．

(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)射線的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換得拋物線，如此進(jìn)行下去，對拋物線作變換,得拋物線．若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【解】(1) 由條件得，得：；（2分）

(2) “伸縮變換”，對作變換，得到，（3分）

解方程組得點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（4分）解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（5分）＝＝，化簡后得，解得，因此橢圓的方程為或．（9分）

(3)對：作變換得拋物線：得，又，即，（11分）＝,則，（13分）

（或解：）

又，．（14分）