已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程;
(2)若g(x)=f(x)一有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).其極小值為M,試比較2M與一3的大小,并說明理由;
(3)設(shè)q>p>2,求證:當(dāng)x∈(p,q)時(shí),.
(1);(2)
;(3)證明過程詳見解析.
【解析】
試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等數(shù)學(xué)知識,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問,先對求導(dǎo),將
代入到
中得到切線的斜率,將
代入到
中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),最后利用點(diǎn)斜式,直接寫出切線方程;第二問,對
求導(dǎo),由于
有2個(gè)不同的極值點(diǎn),所以
有2個(gè)不同的根,即
在
有兩個(gè)不同的根,所以
且
,可以解出a的取值范圍,所以根據(jù)
的單調(diào)性判斷出
為極小值,通過函數(shù)的單調(diào)性求最值,從而比較大;第三問,用分析法證明分析出只須證
,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明,同理再證明
,最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.
試題解析:(1)易知,
所求的切線方程為
,即
4分
(2)易知,
有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
在
有兩個(gè)不同的根
則且
解得
6分
在
遞增,
遞減,
遞增
的極小值
又
則,
在
遞減
,故
9分
(3)先證明:當(dāng)時(shí),
即證:
只需證:
事實(shí)上,設(shè)
易得,
在
內(nèi)遞增
即原式成立 12分
同理可以證明當(dāng)時(shí),
綜上當(dāng)時(shí),
. 14分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值;3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省宜春市高三考前模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若函數(shù)f(x)=sin 2xcos+cos 2x sin
(x∈R),其中
為實(shí)常數(shù),且f(x)≤f(
)對任意實(shí)數(shù)R恒成立,記p=f(
),q=f(
),r=f(
),則p、q、r的大小關(guān)系是( )
A.r<p<q B.q<r<p C.p<q<r D.q<p<r
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省南昌市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)對任意的
滿足
(其中
是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省南昌市高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知.角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
,則
的值是___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省南昌市高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
一幾何體的三視圖如圖,該幾何體的頂點(diǎn)都在球的球面上,球
的表面積是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省高三聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,△ABC中.角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c滿足c=l,以AB為邊向△ABC外作等邊三角形△ABD.
(1)求∠ACB的大小;
(2)設(shè)∠ABC=.試求函數(shù)
的最大值及
取得最大值時(shí)的
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省高三聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,半徑為2的圓內(nèi)有兩條圓弧,一質(zhì)點(diǎn)M自點(diǎn)A開始沿弧A-B-C-O-A-D-C做勻速運(yùn)動(dòng),則其在水平方向(向右為正)的速度的圖像大致為( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省高三聯(lián)合考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在銳角中,AC=BC=2,
,(其中
),函數(shù)
的最小值為
,則
的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省上饒市高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知是
三邊長,且
,
的面積
.求角
及
的值.
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