Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在，

試題分析：（1）要 證明//平面，只需在平面內(nèi)找一條直線與平行，連接交于點(diǎn)，則是的中位線，所以∥，則//平面；（2）（方法一：）先假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，由已知的垂直關(guān)系，找到二面角的平面角，然后在中計(jì)算，并判斷是否小于1；（方法二:）找三條兩兩垂直相交的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并分別表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求兩個(gè) 半平面的法向量和，再利用空間向量的夾角公式列式，確定點(diǎn)的位置，并判斷其是否在線段上.

試題解析：(1)連接,設(shè)和交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024743447506.png" style="vertical-align:middle;" />∥∥，==，所以四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024743572320.png" style="vertical-align:middle;" />是中點(diǎn)，所以∥，又平面，平面，所以//平面；
(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為.
(解法一)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024742699605.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面，又面，所以，則面，，則就是二面角的平面角，則=，中，，，則，所以=，又在中，，故在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí)的長(zhǎng)為.
（解法二）由于四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，，所以是等邊三角形，則,有因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024742699605.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，平面⊥平面，所以面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，， ，設(shè)平面的法向量為，則且，得，令，所以，又平面的法向量，，，解得，
故在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí)的長(zhǎng)為.