如圖，已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)及兩條直線l1：x=-
a
2
 
c
，l2：x=
a
2
 
c
，其中c=
a
2
 
-
b
2
 
，且l1，l2分別交x軸于C、D兩點(diǎn)．從l1上一點(diǎn)A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F被石軸反射后與l2交于點(diǎn)B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，則橢圓的離心率等于（　�。�
分析：根據(jù)光線反射的幾何性質(zhì)，得∠AFC=∠AFC=45°，從而得到Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．Rt△ABF中算出∠ABF=30°，得到|BF|=
3
|AF|，從而有|DF|=
3
|CF|，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的等式，化簡整理即可得到該橢圓的離心率．
解答：解：根據(jù)題意，得∠AFC=∠AFC=
1
2
（180°-90°）=45°
∴Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．
∵∠ABD=75°，∴∠ABF=75°-45°=30°
Rt△ABF中，tan30°=
|AF|
|BF|
=
3
3
，得|BF|=
3
|AF|
∵|CF|=
2
2
|AF|，|DF|=
2
2
|BF|，∴|DF|=
3
|CF|…（*）
∵橢圓方程是
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，
∴左焦點(diǎn)F（-c，0）
因此，|DF|=
a2
c
+c，|CF|=
a2
c
-c，代入（*）得
a2
c
+c=
3
（
a2
c
-c），即（
3
+1）c=（
3
-1）
a2
c

∴兩邊都除以a，得（
3
+1）e=（
3
-1）
1
e
，得e2=
(
3
-1)2
2

∴離心率e=
3
-1
2
=
6
-
2
2
（舍負(fù)）
故選：A
點(diǎn)評：本題給出光的反射問題，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點(diǎn)T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當(dāng)λ∈[2，4]時(shí)，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（
2
，
6
），上、下焦點(diǎn)分別為F1、F2，向量
PF1
⊥
PF2
．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為m（
1
2
，-
3
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D，若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與區(qū)域D有公共點(diǎn)，試求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點(diǎn)，且
AP
•
AQ
=0．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時(shí)，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時(shí)，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時(shí)，求r的值．（用b表示）

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同步練習(xí)冊答案