Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2，則二面角A﹣PB﹣C的正切值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂直線為z軸，建立空間直角坐標系，

在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2 ，可得∠PCD=30°，

∴P到平面ABCD的距離為PCsin30°= ．

∴A（1，0，0），P（0，﹣1， ），B（1，2，0），C（0，2，0），

=（1，1，﹣ ）， =（1，3，﹣ ）， =（0，3，﹣ ），

設平面PAB的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（ ），

設平面PBC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c= ，得 =（2，1， ），

設二面角A﹣PB﹣C的平面角為θ，

則cosθ= = = ，sinθ= = ，

tanθ= = ．

∴二面角A﹣PB﹣C的正切值為 ．

故答案為： ．

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的正切值．