Question

如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）在線段上確定一點(diǎn)，使平面，并給出證明；

（2）證明平面平面，并求出到平面的距離.

 

Answer 1

（1）為線段中點(diǎn)時(shí)，平面；（2）到的距離為.

【解析】

試題分析：

（1）為線段中點(diǎn)，連接，可得出，所以為平面四邊形，先證平面，所以，又三角形為等腰直角三角形，為斜邊中點(diǎn)，所以．即可得結(jié)論平面；

（2）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，

進(jìn)而推出面面垂直.

取所以中點(diǎn)所以，證明即為，因?yàn)?/span> ，在平面內(nèi)，作,垂足為，則, 即為到的距離，在三角形中，為中點(diǎn)，,即到的距離為 （12分）

試題解析：（1） 為線段中點(diǎn)時(shí)，平面.

取中點(diǎn)，連接，

由于，所以為平面四邊形，

由平面，得，

又，，所以平面，

所以，

又三角形為等腰直角三角形，為斜邊中點(diǎn)，所以，

，所以平面. （5分）

（2）因?yàn)?/span>所以.

又,所以,所以.

取所以中點(diǎn)所以，連接所以,則,即為，

在平面內(nèi)，作,垂足為，則,

即為到的距離，

在三角形中，為中點(diǎn)，,

即到的距離為 （12分）

考點(diǎn)：本題考查線線、線面垂直的判斷和性質(zhì)，可通過線線垂直線面垂直面面垂直的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法；

點(diǎn)到平面的距離，可先做垂線，在解三角形.