Question

（2013•惠州模擬）（理科）設(shè)橢圓M：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的右焦點為F₁，直線l：x=

a2

a2-2

與x軸交于點A，若

OF1

+2

AF1

=0（其中O為坐標(biāo)原點）
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)點P是橢圓M上的任意一點，線段EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，利用

OF1

+2

AF1

=0建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積運算，將求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值，利用配方法可求．

解答：解：（1）由題設(shè)知，A(

a2

a2-2

，0)，F(xiàn)₁（

a2-2

，0）
∵

OF1

+2

AF1

=0，∴

a2-2

=2(

a2

a2-2

-

a2-2

)
∴a²=6
∴橢圓M的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）∵圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為點N
∴

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1
從而將求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值
P是橢圓M上的任一點，設(shè)P（x₀，y₀），則有

x02

6

+

y02

2

=1，即x₀²=6-3y₀²，
又N（0，2），∴

NP

2=x₀²+（y₀-2）²=-2（y₀+1）²+12
∵y0∈[-

2

，

2

]，∴當(dāng)y₀=-1時，

NP

2取最大值12
∴

PE

•

PF

的最大值為11．

點評：本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查配方法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題