Question

已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

（1）；（2）外切.

試題分析：（1）利用“點(diǎn)在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個條件列兩個方程，求解與，進(jìn)而確定雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法，考查兩圓連心線的長度與兩圓半徑之間的相互關(guān)系，同時注意將點(diǎn)與左焦點(diǎn)連接起來，注意到兩圓圓心分別為與的中點(diǎn)，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長度之間的關(guān)系，進(jìn)而確定兩圓的位置關(guān)系.
試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以①.
因?yàn)殡p曲線的的漸近線與圓相切，
所以圓心到直線的距離等于2，
即，整理得②.
聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為．
（2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為.
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以，即，
所以.
因?yàn)橐噪p曲線的實(shí)軸為直徑的圓的圓心為，半徑為；
以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以兩圓圓心之間的距離為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240215473122570.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓外切.