Question

把49個數排成如圖所示的數表，若表中每行的7個數自左至右依次都成等差數列，每列的7個數自上而下依次也都成等差數列，且正中間的數a₄₄=1，則表中所有數的和為________．

Answer 1

49
分析：觀察數列矩陣，因為每行每列都滿足等差數列，可以用等差數列性質a_m+a_n=a_p+a_q先計算每列，分別為7a₄₁，7a₄₂，7a₄₃，7a₄₄，7a₄₅，7a₄₆，7a₄₇，然后計算第四列的總和即可．
解答：由題意知：
因為每行每列都滿足等差數列，根據等差數列的性質a_m+a_n=a_p+a_q，
第一列：a₁₁+a₂₁+a₃₁+a₄₁+a₅₁+a₆₁+a₆₁+a₇₁=（a₁₁+a₇₁）+（a₂₁+a₆₁）+（a₃₁+a₅₁）+a₄₁=2a₄₁+2a₄₁+2a₄₁+a₄₁=7a₄₁；
第二列：a₁₂+a₂₂+a₃₂+a₄₂+a₅₂+a₆₂+a₇₂=（a₁₂+a₇₂）+（a₂₂+a₆₂）+（a₃₂+a₅₂）+a₄₂=2a₄₂+2a₄₂+2a₄₂+a₄₂=7a₄₂；
第三列：a₁₃+a₂₃+a₃₃+a₄₃+a₅₃+a₆₃+a₇₃=（a₁₃+a₇₃）+（a₂₃+a₆₃）+（a₃₃+a₅₃）+a₄₃=2a₄₃+2a₄₃+2a₄₃+a₄₃=7a₄₃；
第四列：a₁₄+a₂₄+a₃₄+a₄₄+a₅₄+a₆₄+a₇₄=（a₁₄+a₇₄）+（a₂₄+a₆₄）+（a₃₄+a₅₄）+a₄₄=2a₄₄+2a₄₄+2a₄₄+a₄₄=7a₄₄；
第五列：a₁₅+a₂₅+a₃₅+a₄₅+a₅₅+a₆₅+a₇₅=（a₁₅+a₇₅）+（a₂₅+a₆₅）+（a₃₅+a₅₅）+a₄₅=7a₄₅
第六列：a₁₆+a₂₆+a₃₆+a₄₆+a₅₆+a₆₆+a₇₆=（a₁₆+a₇₆）+（a₂₆+a₆₆）+（a₃₆+a₅₆）+a₄₆=7a₄₆
第七列：a₁₇+a₂₇+a₃₇+a₄₇+a₅₇+a₆₇+a₇₇=（a₁₇+a₇₇）+（a₂₇+a₆₇）+（a₃₇+a₅₇）+a₄₇=7a₄₇
∴所有數的總和=7a₄₁+7a₄₂+7a₄₃+7a₄₄+7a₄₅+7a₄₆+7a₄₇=7（a₄₁+a₄₂+a₄₃+a₄₄+a₄₅+a₄₆+a₄₇）=7[（a₄₁+a₄₇）+（a₄₂+a₄₆）+（a₄₃+a₄₅）+a₄₄]=7（7a₄₄）
∵a₄₄=1
∴7（7a₄₄）=49
故答案為49
點評：本題主要考查等差數列的性質a_m+a_n=a_p+a_q，先縱向再橫向不難計算所有數的總和，屬于中檔題型．