Question

已知曲線C參數(shù)方程為

x=2cosθ y=sinθ

，θ∈[0，2π)，極點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．圓T的極坐標(biāo)方程為ρ²+4ρcosθ+4=r²，曲線C與圓T交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程與圓T直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的同角公式消去參數(shù)θ即得曲線C的普通方程；利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得圓T的普通方程．
（II）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，利用直角坐標(biāo)方程或參數(shù)方程，設(shè)出N的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在橢圓C上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得出

TM

•

TN

的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值及求此時圓T的方程．

解答：解：（I）橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）--------（5分）
（II）方法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．（*）
由已知T（-2，0），則

TM

=(x1+2， y1)，

TN

=(x1+2， -y1)，∴

TM

•

TN

=(x1+2， y1)•(x1+2， -y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

x12+4x1+3=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故當(dāng)x1=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．--------（13分）
方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（-2，0），則

TM

•

TN

=(2cosθ+2， sinθ)•(2cosθ+2， -sinθ)=（2cosθ+2）²-sin²θ=5cos²θ+8cosθ+3=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．
故當(dāng)cosθ=-

4

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，此時M(-

8

5

，

3

5

)，
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．故圓：(x+2)2+y2=

13

25

．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)方程、及參數(shù)方程的互化，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，屬于基礎(chǔ)題．