已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若
1
3
≤a≤1
,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),求M(a)的表達(dá)式;
(3)若
1
3
≤a≤1
,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表達(dá)式.
分析:(1)對參數(shù)a進(jìn)行討論,分一次函數(shù)、二次函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)配方,確定函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,即可得到M(a)的表達(dá)式;
(3)先確定N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a
,再利用(2)的結(jié)論,即可求得g(a)的表達(dá)式.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上為減函數(shù)…(2分)
當(dāng)a>0時,拋物線f(x)=ax2-2x+1開口向上,對稱軸為x=
1
a

∴函數(shù)f(x)在(-∞,
1
a
)
上為減函數(shù),在(
1
a
,+∞)
上為增函數(shù)…(4分)
當(dāng)a<0時,拋物線f(x)=ax2-2x+1開口向下,對稱軸為x=
1
a

∴函數(shù)f(x)在(-∞,
1
a
)
上為增函數(shù),在(
1
a
,+∞)
上為減函數(shù)…(6分)
(2)∵f(x)=a(x-
1
a
)2+1-
1
a
,又
1
3
≤a≤1
,得1≤
1
a
≤3

當(dāng)1≤
1
a
<2
,即
1
2
<a≤1
時,M(a)=f(3)=9a-5,當(dāng)2≤
1
a
≤3
,即
1
3
≤a≤
1
2
時,M(a)=f(1)=a-1,
∴M(a)=
a-1,
1
3
≤a≤
1
2
9a-5,
1
2
<a≤1
…(8分)
(3)∵
1
3
≤a≤1
,∴1≤
1
a
≤3

N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a

當(dāng)
1
2
<a≤1
時,M(a)=f(3)=9a-5,∴g(a)=9a+
1
a
-6

當(dāng)
1
3
≤a≤
1
2
時,M(a)=f(1)=a-1,∴g(a)=a+
1
a
-2
…(12分)
g(a)=
a+
1
a
-2,a∈[
1
3
,
1
2
]
9a+
1
a
-6,a∈(
1
2
,1]
…(13分)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確分類是關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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